การตรวจสอบหารหารลงตัว

นฤพนธ์สายเสมา

การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในเรื่องเกี่ยวกับการจำนวนเต็ม ทฤษฎีจำนวน และเรื่องอื่นๆ โดยเฉพาะการตรวจสอบการหารลงตัว และการตรวจสอบจำนวนเฉพาะนั้น นักเรียนจะมีปัญหาในการหารว่าควรจะเลือกจำนวนใดมาหารดี ถึงจะรวดเร็วที่สุด และทำให้ได้คำตอบไวที่สุด มีผู้คิดการสอบหลายวิธี ในที่นี้ผู้เขียนจะได้นำเสนอการตรวจสอบการหารลงตัวด้วยจำนวนเต็มตั้งแต่ 2 – 20

  • จำนวนเต็มที่หารด้วย 2 ลงตัวได้แก่ จำนวนคู่ หรือจำนวนเต็มที่ลงท้ายด้วย 0, 2, 4, 6 และ 8

ตัวอย่าง จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว เช่น 12, 54, 296, 568, 1000 เป็นต้น

  • จำนวนเต็มที่หารด้วย 3 ลงตัวได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำเลขโดดทุกตัวมารวมกันไปเรื่อยๆ จนได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนหลักเดียว หรือสองหลัก แล้วดูว่าจำนวนที่ได้นั้นหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่

ตัวอย่าง 3 หาร 27 ลงตัว เพราะ2 + 7 = 9 ซึ่ง 3 หาร 9 ลงตัว
3 หาร 147 ลงตัวเพราะ1 + 4 + 7 = 12ซึ่ง 3 หาร 12
ลงตัว
3 หาร 134 ไม่ลงตัวเพราะ1 + 3 + 4 = 8ซึ่ง 3 หาร 8 ไม่ลงตัว

  • จำนวนเต็มที่หารด้วย 4 ลงตัวได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำ 4 ไปหารเลขโดดสองหลักสุดท้าย (หลักสิบ และหลักหน่วย) ไม่เหลือเศษ หรือ จำนวนเต็มที่ 4 หารเลขโดดสองตัวสุดท้ายลงตัว แล้ว 4 จะหารจำนวนเต็มนั้นลงตัวด้วย

ตัวอย่าง 4 หาร 136 ลงตัวเพราะ 4 หาร 36 ลงตัว
4 หาร 4560 ลงตัวเพราะ 4 หาร 60
ลงตัว
4 หาร 23,416 ลงตัวเพราะ 4 หาร 16
ลงตัว
4 หาร 4,382 ไม่ลงตัวเพราะ 4 หาร 82 ไม่ลงตัว

  • จำนวนเต็มที่หารด้วย 5 ลงตัวได้แก่ จำนวนเต็มที่ลงท้ายด้วย 0 และ 5 เท่านั้น (ลองสังเกตสูตรคูณแม่ 5 ดูก็ได้ครับ)

ตัวอย่าง จำนวนเต็มที่หารด้วย 5 ลงตัว เช่น 25, 350, 2455, 5670 เป็นต้น

  • จำนวนเต็มที่หารด้วย 6 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่หารด้วย 2 และ 3 ลงตัว หรือพูดให้ง่ายกว่านั้น คือ “จำนวนคู่ที่หารด้วยสามลงตัวนั่นเอง” (จำนวนที่ 2 หารลงตัวเรียกว่าจำนวนคู่นะครับ)

ตัวอย่าง 6 หาร 135 ไม่ลงตัวเพราะ 135 เป็นจำนวนคี่
6 หาร 2,456 ไม่ลงตัวเพราะ 2,456
เป็นจำนวนคู่
แต่ 2 + 4 + 5 + 6 = 17 ซึ่ง 3 หาร 17
ไม่ลงตัว
6 หาร 678 ลงตัวเพราะ 678
เป็นจำนวนคู่
และ 6 + 7 + 8 = 21 ซึ่ง 3 หาร 21 ลงตัว

  • จำนวนเต็มที่หารด้วย 7 ลงตัวได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำจำนวนในหลักหน่วยมาคูณด้วย 2 แล้วนำไปลบออกจากจำนวนที่เหลือจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนที่ 7 หารลงตัว

ตัวอย่าง 7 หาร 182 ลงตัวเพราะ 18 – (2 ´2) = 18 – 4 = 14
ซึ่ง7 หาร 14 ลงตัว
7 หาร 476 ลงตัวเพราะ47 – (6
´ 2) = 47 – 12 = 35
ซึ่ง 7 หาร 35 ลงตัว
7 หาร 576 ไม่ลงตัวเพราะ57 – (6
´ 2) = 57 – 12 = 45
ซึ่ง 7 หาร 45 ไม่ลงตัว

  • จำนวนเต็มที่หารด้วย 8 ลงตัวได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำ 8 ไปหารเลขโดดสามหลักสุดท้าย (หลักร้อย หลักสิบ และหลักหน่วย) ไม่เหลือเศษ หรือ จำนวนเต็มที่ 8 หารเลขโดดสามตัวสุดท้ายลงตัว แล้ว 8 จะหารจำนวนเต็มนั้นลงตัวด้วย

ตัวอย่าง 8 หาร 1,320 ลงตัวเพราะ8 หาร 320 ลงตัว
8 หาร 7,248 ลงตัวเพราะ8 หาร 248
ลงตัว
8 หาร 13,100 ไม่ลงตัวเพราะ8 หาร 100 ไม่ลงตัว

  • จำนวนเต็มที่หารด้วย 9 ลงตัว เนื่องจาก 9 เป็นพหุคูณของสาม หลักการตรวจสอบจำนวนเต็มที่ 9 หารลงตัวจึงมีลักษณะคล้ายกัน จำนวนเต็มที่ 9 หารลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำเลขโดดทุกตัวมารวมกันไปเรื่อยๆ จนเหลือคำตอบเพียงตัวเดียว คำตอบสุดท้ายนั้นต้องเป็น 9 หรือเมื่อนำเลขโดดมารวมกันแล้ว 9 หารลงตัวก็ได้ 

บางคนอาจกล่าวว่า เลข 9 คูณอะไรก็ได้ 9 เพราะผลลัพธ์ที่เกิดจากการคูณด้วย 9 เมื่อนำเลขโดดมารวมกันแล้ว ย่อมจะได้ผลลัพธ์สุดท้ายเป็น 9 เสมอ
ตัวอย่าง 9 หาร 234 ลงตัวเพราะ2 + 3 + 4 = 9

9 หาร 5,632 ไม่ลงตัวเพราะ5+ 6 + 3 + 2 = 16
และ 1 + 6 = 7 ซึ่ง 7 ¹ 9
9 หาร 42,687 ลงตัวเพราะ4+ 2 + 6 + 8 + 7 = 27
และ 2 + 7 = 9

  • จำนวนเต็มที่หารด้วย 10 ลงตัว ได้แก่ จำนวนจำนวนเต็มที่มีเลขโดดในหลักหน่วย หรือลงท้ายด้วย 0 นั่นเอง

ตัวอย่าง จำนวนเต็มที่ 10 หารลงตัว เช่น 100, 12090, 10010 เป็นต้น

  • จำนวนเต็มที่หารด้วย 11 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำผลรวมของเลขโดดในหลักคู่ (หลักที่ 2: หลักสิบ, หลักที่ 4: หลักพัน, หลักที่ 6: หลักแสน, …) ลบด้วย ผลรวมของเลขโดดในหลักคี่ (หลักที่ 1: หลักหน่วย, หลักที่ 3: หลักร้อย, หลักที่ 5: หลักหมื่น, …) แล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนที่ 11 หารลงตัว เช่น ผลลัพธ์เป็น 0, 11, -11 เป็นต้น

ตัวอย่าง 11 หาร 253 ลงตัวเพราะ5 – (2 + 3) = 0 และ 11 หาร 0 ลงตัว
11 หาร 2794 ลงตัวเพราะ(2 + 9) – (7 + 4) = 0 และ 11 หาร 0 ลงตัว
11 หาร 45876 ไม่ลงตัวเพราะ(5 + 7) (4 + 8 + 6) = -6 ซึ่ง 11 หาร -6 ไม่ลงตัว

  • ‚จำนวนเต็มที่หารด้วย 12 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่หารด้วย 3 และ 4 ลงตัว นั่นคือ ตรวจว่าจำนวนนั้นหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ และตรวจอีกครั้งว่า 4 หารลงตัวหรือไม่ (อาจตรวจสอบการหารลงตัวด้วย 4 ก่อนก็ได้เพราะต้องเป็นจำนวนคู่แน่นอน)

ตัวอย่าง 12 หาร 696 ลงตัว
เพราะ (1)6 + 9 + 6 = 21 และ 3 หาร 21 ลงตัว
ทำให้ 3 หาร 696 ลงตัว
และ(2)4 หาร 96 ลงตัว ทำให้ 4 หาร 696 ลงตัวด้วย

12 หาร 1128 ลงตัว
เพราะ(1)4 หาร 28 ลงตัว ทำให้ 4 หาร 1128 ลงตัวด้วย
และ (2)1 + 1 + 2 + 8 = 12 ซึ่ง 3 หาร 12 ลงตัว
ทำให้ 3 หาร 1128 ลงตัว

12 หาร 1239 ไม่ลงตัว
เพราะว่าจำนวนที่ 4 หารลงตัวต้องเป็นจำนวนคู่เท่านั้น
ดังนั้น 12 จึงไม่มีทางหาร 1239 ลงตัว แม้ว่า 1 + 2 + 3 + 9 = 15 และ 3 หาร 15 ลงตัวก็ตาม (ฟันธง)

12 หาร 1148 ไม่ลงตัว
แม้ว่า4 หาร 48 ลงตัว ทำให้ 4 หาร 1148 ลงตัวก็ตาม
แต่1 + 1 + 4 + 8 = 14 ซึ่ง 3 หาร 14 ไม่ลงตัว ทำให้ 3 หาร 1148 ไม่ลงตัว

  • ƒจำนวนเต็มที่หารด้วย 13 ลงตัวได้แก่ จำนวนจำนวนเต็มที่เมื่อนำเลขโดดตัวสุดท้าย (เลขโดดในหลักหน่วย) คูณด้วย 4 แล้วบวกด้วยจำนวนที่เหลือ แล้วดูว่า 13 หารลงตัวหรือไม่ ถ้าจำนวนยังมากอยู่ก็ให้ดำเนินการในทำนองเดียวกันไปเรื่อยๆ จนเหลือจำนวนที่น้อยและตรวจได้ว่าหารด้วย 13 ลงตัวหรือไม่

ตัวอย่าง 13 หาร 546 ลงตัว เพราะ54 + (6 × 4) = 54 + 24 = 78(ยังเยอะอยู่)
7 + (8 × 4) = 7 + 32 = 39 ซึ่ง 13 หาร 39 ลงตัว

13 หาร 7618 ลงตัวเพราะ761 + (8 × 4) = 761 + 32 = 793 (ยังเยอะอยู่)
79 + (3 × 4) = 79 + 12 = 91(ตรวจต่อก็ได้)
9 + (1 × 4) = 9 + 4 = 13ซึ่ง 13 หาร 13 ลงตัว

13 หาร 12564 ไม่ลงตัว
เพราะ1256 + (4 × 4) = 1256 + 16 = 1272
127 + (2 × 4) = 127 + 8 = 135
13 + (5 × 4) = 13 + 20 = 43ซึ่ง 13 หาร 43 ไม่ลงตัว

  • „จำนวนเต็มที่หารด้วย 14 ลงตัวได้แก่ จำนวนเต็มที่หารด้วย 2 และ 7 ลงตัว หรือพูดง่ายๆ กว่านั้นก็คือ จำนวนคู่ที่หารด้วย 7 ลงตัวนั่นเอง (ลองยกตัวอย่างเองนะครับ)
  • จำนวนเต็มที่หารด้วย 15 ลงตัวได้แก่ จำนวนเต็มที่หารด้วย 3 และ 5 ลงตัว หรือพูดง่ายๆ ก็คือ จำนวนเต็มที่ลงท้ายด้วย 0 หรือ 5 และหารด้วย 3 ลงตัวนั่นเอง (ลองยกตัวอย่างเองนะครับ)
  • †จำนวนเต็มที่หารด้วย 16 ลงตัวการตรวจสอบจำนวนที่หารด้วย 16 ลงตัวแบ่งได้ 3 กรณี

กรณีที่ 1ถ้าจำนวนเต็มที่กำหนดมีค่าไม่ถึงพัน ให้นำจำนวนในหลักร้อยคูณด้วย 4 แล้วบวกด้วยจำนวนที่เหลือ
ตัวอย่าง 16 หาร 176 ลงตัว
เพราะ(1
´ 4) + 76 = 4 + 76 = 80
(8 ´ 4) + 0 = 32 + 0 = 32 ซึ่งหารด้วย 16 ลงตัว
16 หาร 698 ไม่ลงตัว
เพราะ
(6 ´ 4) + 98 = 32 + 98 = 130
(1 ´ 4) + 30 = 4 + 30 = 34 ซึ่งหารด้วย 16 ไม่ลงตัว

กรณีที่ 2ถ้าจำนวนเต็มนั้นมีเลขโดดในหลักพันเป็นจำนวนคู่ ให้นำจำนวนในสามหลักสุดท้าย (หลักร้อย, หลักสิบ, หลักหน่วย) ไปตรวจสอบดูว่าหารด้วย 16 ลงตัวหรือไม่
ตัวอย่าง16 หาร 254176 ลงตัวเพราะว่า หลักพัน คือ เลข 4 เป็นจำนวนคู่
และ 16 หาร 176 ลงตัว (ดูกรณีที่ 1)
16 หาร 258698 ไม่ลงตัวเพราะว่า หลักพัน คือ 8 เป็นจำนวนคู่
แต่ 16 หาร 698 ไม่ลงตัว (ดูกรณีที่ 1)

กรณีที่ 3ถ้าจำนวนเต็มนั้นมีเลขโดดในหลักพันเป็นจำนวนคี่ ให้นำจำนวนในสามหลักสุดท้าย (หลักร้อย, หลักสิบ, หลักหน่วย) บวกด้วย 8 แล้วดูว่าหารด้วย 16 ลงตัวหรือไม่
ตัวอย่าง 16 หาร 23408 ลงตัวเพราะหลักพัน คือ เลข 3 ซึ่งเป็นจำนวนคี่
และเนื่องจาก408 + 8 = 416 (ตรวจสอบ 416)
พบว่า(4 ´ 4) + 16 = 16 + 16 = 32
ซึ่ง 32 หารด้วย 16 ลงตัว
16 หาร 55784 ไม่ลงตัวเพราะหลักพัน คือ เลข 5 ซึ่งเป็นจำนวนคี่
แต่เนื่องจาก784 + 8 = 792 (ตรวจสอบ 792)
พบว่า(7 ´ 4) + 92 = 28 + 92 = 120
(1 ´ 4) + 20 = 4 + 20 = 24
ซึ่ง 24 หารด้วย 16 ไม่ลงตัว

  • ‡จำนวนเต็มที่หารด้วย 17 ลงตัวได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำจำนวนในหลักสุดท้ายไปคูณด้วย 5 แล้วนำจำนวนที่เหลือมาตั้ง แล้วลบด้วยผลคูณของจำนวนในหลักสุดท้ายกับ 5 (ถ้าจำนวนยังมากอยู่ให้ดำเนินการในทำนองเดียวกันต่อไปเรื่อย) แล้วดูว่าผลลัพธ์ที่ได้หารด้วย 17 ลงตัวหรือไม่

ตัวอย่าง 17 หาร 85 ลงตัว
เพราะ 8
–(5× 5) = 8 – 25 = -17 ซึ่งหารด้วย 17 ลงตัว
17 หาร 612 ลงตัว
เพราะ61
– (2 × 5) = 61 – 10 = 51
5 – (1 × 5) = 5 – 5 = 0 ซึ่งหารด้วย 17 ลงตัว
17 หาร 2295 ลงตัว
เพราะ229
– (5 × 5) = 229 – 25 = 204
20 – (4 ´ 5) = 20 – 20 = 0 ซึ่งหารด้วย 17 ลงตัว
17 หาร 2569 ไม่ลงตัว
เพราะ256 (9 × 5) = 256 – 45 = 211
21 – (1 × 5) = 21 – 5 = 16 ซึ่งหารด้วย 17 ไม่ลงตัว
17 หาร 69586 ไม่ลงตัว
เพราะ6958 – (6 × 5) = 6958 – 30 = 6928
692 – (8 × 5) = 692 – 40 = 652
65 – (2 × 5) = 65 – 10 = 55
5 – (5 × 5) = 5 – 25 = -20 ซึ่งหารด้วย 17 ไม่ลงตัว

  • ˆจำนวนเต็มที่หารด้วย 18 ลงตัวได้แก่ จำนวนเต็มที่หารด้วย 2 และ 9 ลงตัว หรือพูดง่ายๆ คือ จำนวนคู่ที่หารด้วย 9 ลงตัวนั่นเอง

ตัวอย่าง 18 หาร 36 ลงตัวเพราะ 36 เป็นจำนวนคู่
และ 3 + 6 = 9 ซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว
18 หาร 966 ลงตัวเพราะ 966 เป็นจำนวนคู่
และ 9 + 6 + 6
= 21 ซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว
18 หาร 1496 ไม่ลงตัวแม้ว่า1496 จะเป็นจำนวนคู่
แต่1 + 4 + 9 + 6 = 20 ซึ่งหารด้วย 3 ไม่ลงตัว
18 หาร 2469 ไม่ลงตัวเพราะ2469 เป็นจำนวนคี่

  • ‰จำนวนเต็มที่หารด้วย 19 ลงตัวได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำจำนวนในหลักสุดท้าย (หลักสิบ, หลักหน่วย) คูณด้วย 2 จากนั้นนำไปบวกกับจำนวนที่เหลือ (ถ้าจำนวนยังมากอยู่ให้ดำเนินการในทำนองเดียวกันต่อไปเรื่อย) แล้วดูว่าหารด้วย 19 ลงตัวหรือไม่

ตัวอย่าง 19 หาร 152 ลงตัวเพราะ15 + (2× 2) = 15 + 4 = 19
ซึ่ง19 หาร 19 ลงตัว
19 หาร 741 ลงตัวเพราะ74 + (1× 2) = 74 + 2 = 76
7 + (6 × 2) = 7 + 12 = 19
ซึ่ง19 หาร 19 ลงตัว
19 หาร 1485 ไม่ลงตัวเพราะ148 + (5 × 2) = 148 + 10 = 158
15 + (8 × 2) = 15 + 16 = 31
ซึ่ง19 หาร 31 ไม่ลงตัว
19 หาร 5698 ไม่ลงตัวเพราะ569 + (8 × 2) = 569 + 16 = 585
58 + (5 × 2) = 58 + 10 = 68
6 + (8 × 2) = 6 + 16 = 22
ซึ่ง19 หาร 22 ไม่ลงตัว

  • ‚จำนวนเต็มที่หารด้วย 20 ลงตัวได้แก่ จำนวนเต็มที่มีหลักหน่วยเป็น 0 และหลักสิบเป็นจำนวนคู่

ตัวอย่าง จำนวนนับที่หารด้วย 20 ลงตัว เช่น
520 มีหลักหน่วยเป็นเลข 0 และหลักสิบเป็นเลข 2 (เลขคู่)
6580มีหลักหน่วยเป็นเลข 0 และหลักสิบเป็นเลข 8 (เลขคู่)
98560มีหลักหน่วยเป็นเลข 0 และหลักสิบเป็นเลข 6 (เลขคู่)
จำนวนนับที่หารด้วย 20 ไม่ลงตัว เช่น
630มีหลักหน่วยเป็นเลข 0 แต่หลักสิบเป็นเลข 3 (เลขคี่)
6590มีหลักหน่วยเป็นเลข 0 แต่หลักสิบเป็นเลข 9 (เลขคี่)
6569มีหลักหน่วยเป็นเลข 9 (ไม่ใช่เลข 0)

อนึ่ง ผู้เขียนใช้คำว่า “หาร” และ “หารด้วย” ปะปนกัน เพื่อต้องการให้ผู้อ่านเห็นความแตกต่างในการใช้คำทั้งสองนี้ในการสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ ซึ่งแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง โดยคำว่า “หาร” ใช้ในกรณีจำนวนที่มาก่อน “หาร” เป็น “ตัวหาร” เช่น ข้อความ 3 หาร 6 ลงตัว หมายถึง 6 เป็นตัวตั้ง และ 3 เป็นตัวหาร ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็น 2 ส่วนคำว่า “หารด้วย” นั้นใช้ในกรณีที่จำนวนที่มาก่อน “หารด้วย” เป็นตัวตั้ง เช่น 8 หารด้วย 4 ลงตัว หมายถึง 8 เป็นตัวตั้ง และ 4 เป็นตัวหาร ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็น 2

โดยในการเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ “หารด้วย” มักจะใช้เครื่องหมายหาร (¸) เช่น 8 หารด้วย 4 เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า “8 ¸ 4” และ “หาร” มักจะถูกกล่าวถึงในเรื่องการหารลงตัว ซึ่งมีการใช้สัญลักษณ์แทนการหารลงตัว คือ | เช่น 3|6 หมายถึง 3 หาร 6 ลงตัว เป็นต้น

ดังนั้น การเขียนแทนสัญลักษณ์การหาร จึงอ่านได้สองอย่าง กล่าวคือ ถ้าเขียน “15 ¸3” อาจจะอ่านจากซ้ายไปขวาว่า “15 หารด้วย 3” แต่ถ้าอ่านจากขวาเป็นซ้าย (อ่านตัวหารก่อน) จะได้ “3 หาร 15”

ข้อสังเกตอีกประการหนึ่ง คือ การหาร ไม่มีสมบัติการสลับที่ (เหมือนกับการลบ) นั่นคือ 15 ¸3 ¹ 3 ¸ 15 (และ 15 – 3 ¹ 3 – 15) ดังนั้น การอ่านสัญลักษณ์แทนการหาร จึงควรต้องแตกต่างกัน ไม่เหมือนกับการบวกและการคูณที่มีสมบัติการสลับที่

หมายเหตุท้ายบทความ

ผู้เขียนกราบขอบพระคุณ พระภิกษุ (รองศาสตราจารย์ ดร.) พิชชากรแปลงประสบโชค ที่จุดประกายเรื่องนี้เมื่อครั้งเรียนวิชาทฤษฎีเซต ที่มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ และขอบใจน้องเบส ที่ช่วยนำวิธีการตรวจสอบบางจำนวนมาให้ผู้เขียนได้ศึกษาเพิ่มเติม ได้นำมาปรับปรุงและใช้เป็นวัตถุดิบสำคัญในการเขียนบทความนี้

11 Responses to การตรวจสอบหารหารลงตัว

  1. อิสรพงศ์ พูดว่า:

    ขอบคุณมากๆๆมีครับมีประโยชน์มากๆๆเลยครับ

  2. Rungrat พูดว่า:

    เป็นประโยชน์กับเด็กๆจริงๆ

  3. nut พูดว่า:

    ขอบคุณมากเลยค่ะ

  4. ส้มโอ พูดว่า:

    ง่ายดีค่ะ

  5. นิก พูดว่า:

    ขอบคุณค่ะ

  6. Pataifah Kongkarut พูดว่า:

    ขอบคุณมากๆค่าาา ^o^ อ่านแล้วเข้าใจดี แต่ขนาดฟอนท์มันสลับไปมา ยิ่งตอนสุดท้ายเล็กมาก เราสายตาสั้นอ่านไม่ค่อยออกเลย -..-
    แต่เข้าใจง่ายมากๆ ขอบคุณค่ะ

  7. skawnok พูดว่า:

    แล้วพวกเลข 21 ขึ้นไปหล่ะครับมันมีสูตรมั้ยอะครับ

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

%d bloggers like this: